果果的博客

$n$个事件的等待时间

考察第$n$个事件的到达时间，也称为直到第$n$个事件的等待时间。（也称为poisson呼叫流）
$$
S_n=\sum_{i=1}^{n}T_i,\qquad n\ge 1
$$

$S_n$是n个到达之间之和，就是n个泊松分布之和，所以满足伽马分布。

$$
f_{S_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}
$$

以$N(t)$为条件的等待时间的条件分布

求条件时间前的分布

假设：直到时间$t$为止，泊松过程发生了一个事件。
目标：确定这个时间发生时间的分布
即，
$$
P{T_1<s|N(t)=1}=\frac{P{T_1<s,N(t)=1}}{P{N(t)=1}} =\frac{P{[0,s)中1个事件,[s,t]中0个事件}}{P{N(t)=1}}
$$

$$
=\frac{\lambda se^{-\lambda s}e^{-\lambda (t-s)}}{\lambda t e^{-\lambda t}}=\frac{s}{t}
$$
满足均匀分布。

这个模型可以通俗的理解为，如果泊松过程已经知道了到t时刻到发生的总事件数目，那么事件在前面的t时间里面是均匀分布的。

条件时间后的分布

现考察一到题目,N(t)是速率$\lambda$的泊松过程，现在求：
$$
E[S_4|N(1)=2]
$$
两种思路，第一种是用分布求解，一种是用泊松的无记忆性质，最终计算结果都是$1+\frac{2}{\lambda}$。所以目前出现问题。如果从1时刻开始，1后面的时间是小于$T_3+T_4$的，因为第二个事件发生距离1时刻有一定距离。所以本题不可以写成

$$
E[S_4|N(1)=2]=E[T_3+T_4|N(1)=2]+E[1|N(1)=2]
$$
应该写成
$$
E[S_4|N(1)=2]=E[1时刻后再发生两次事件的概率|N(1)=2]+E[1|N(1)=2]
$$

课本上提供了$N(t)=n$时候，前n个$S_n$的分布。该分布与n个在$(0,t)$上均匀分布的顺序统计量同分布。但是如果条件不是t时刻之前的总发生事件数目，而是n个时间的到达时间。即知道第n个时间到达的时间为t，那么n个事件该如何分布。

以$S_N$为条件的到达时间的条件分布

现考察$E[S_3|S_5=1]$和$E[S_3|N(1)=4]$。
$E[S_3|N(1)=4]$可以很好的理解为1时刻内发生四个事件，四个事件将时间分成均等的五块，所以$S_3$的值是0.6

$E[S_3|S_5=1]$可以理解为$(1-\Delta t)$时间内发生了四个时间，所以计算结果和前者一样。

既可以表示为$E[S_3|N(1-\Delta t)=4,N(\Delta=1)]$，由于$S_3$与$1-\Delta t$和$1$之间发生的事情独立，所以后者可以省略。

即最后得出结论，如果求的概率与最后一刻发生的事件独立，则$N(t)=n-1$和$S_n=t$作为条件是等价的。

来到创新港有快一年时间了，最近才爱上去图书馆学习的。图书馆跟工位比起来好像也没什么好的地方，工位桌子还大，而且工位还提供纯净水，电脑甚至还有双屏，但为什么图书馆的吸引力这么大呢？想了想，有三个原因。第一个原因，可能是因为很喜欢图书馆里面这种陌生人社会的氛围。之前中特老师讲到，中国传统的村落社会一直是一种熟人社会，因为村子里的人基本上都认识，而现在逐渐转为了陌生人社会，一个小区里的人，甚至一栋楼上的人都可能互不认识。图书馆可能是这种陌生人社会气氛的最完美的体现，同学们之间的距离甚至不超过半米，翻书的声音彼此都能听到，但是却互相不认识。这种感觉很奇妙，虽然可能坐在你同桌的同学跟你学的根本不是一门学科，可能你在算积分的同时她在阅读小说，但是这种图书馆的气氛却将同学们联系起来，虽然当我们真正遇到学习困难的时候也不可能去问同桌，但是这种气氛给我们一种心理暗示，周围的同学都很努力，我有不会的问题肯定可以解决。我很享受这种陌生的感觉。

除了桌子，我比较喜欢每次离开图书馆的感觉，这也是今天我写这篇日记的原因。每次离开图书馆就会回想起自己今天在图书馆的所学所得，今天是去图书馆复习随机过程的，吧泊松和马尔可夫的笔记做完了，同时听了一些张颢老师讲的课，能把泊松过程讲的这么丝滑的，可能没有第二个老师了吧。今天还去图书馆转了转人文社科区的书架，看了几片小小说，希望我能在毕业前吧图书馆每个书架摆的书的类型都记住，现在大概能记住优化书，积分书和语言类书的位置。每次去图书馆的体验都很足，离开的时候心里的满足感是无可替代的。

除此之外，可能是由于本科去图书馆的习惯吧，对图书馆的桌子情有独钟，发现各类学校的图书馆都有一个共同的特点，桌子虽然不大，但是都有挂书包的地方和电源。本科经常去兴庆钱图的咖啡厅，同时3楼的“湖景座”也是我喜欢去的地方，桌子是各有特色。兴庆钱图咖啡厅的桌子大致分为三类，一类是吧台旁边的方桌，有电源，空间足，但是缺点是离点餐的吧台太近了，噪音大、第二类是南侧贴墙的小圆桌，也有电源，但是桌子空间稍微小一些，好处是噪声小、第三类就是中间没有电源的桌子，一般是去的晚了没别的座位了就会坐中间，方桌子，空间大，不用电脑的读书写作业简直完美。创新港图书馆的桌子目前我只体验了一种，就是中间大区域的四人桌，体验非常好，旁边设置两个插销，而且还有挂书包的地方，可以说条件已经是比兴庆咖啡厅的更好了。跟同桌之间的空间也是足够的，不至于像之兴庆忘了一个地方的桌子， 学习时候两个人胳膊碰胳膊，没点社交能力都不好意思自习了。

与其说对图书馆的桌子记忆犹新，不如说怀念自己在图书馆桌子上的那一段时光。看到北四楼的方形木桌，就会想起自己考研时候独自复习的那段时光；看到图书馆三楼的白色湖景桌，就会想起大二的下午上自习的时光；看到咖啡厅的小圆桌，就会想起大三和自己一起复习期末考试的同学。每天第一个披萨半价的活动在大三的时候就没有了，一起学习的同学们也各奔东西了，我也很少有机会去兴庆的咖啡厅了，只剩下图书馆还在那里，为一届又一届的学生们留下回忆。

随机过程笔记

记录听张颢老师随机过程课的所学所得

泊松差过程

假设$N_1(t)$和$N_2(t)$是强度分别为$\lambda_1,\lambda_2$的独立的两个泊松过程，那么$N(t) = N_1(t)-N_2(t)$是否为泊松过程，如果不是，$N(t)$的分布函数是什么。

首先根据泊松过程的定义，计数过程必须是大于等于0的正整数，而$P(N(t)\leq 0)\geq 0$，所以不是泊松过程。
下面通过母函数求分布函数。
$$
G_{N(t)}(z) = E(z^{N(t)}) = E(z^{N_1(t)})\cdot E(z^{-N_2(t)})
$$
$$
=G_{N_1(t)}(z) \cdot G_{N_2(t)}(\frac{1}{z}) =exp(\lambda_1t(z-1))\cdot exp(\lambda_2t(\frac{1}{z}-1))
$$

到这一步需要从机理进行思考，由于两个泊松过程相减可以理解为两个不同效果的泊松过程想加，如果只考虑事件的发生而不考虑事件的效益，则事件的发生仍是泊松过程，加上效益，则是复合泊松过程。所以需要从上式中提出$\lambda_1+\lambda_2$的项

$$
=exp((\lambda_1+\lambda_2)t(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}z+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}z^{-1}-1))
$$

由上式看出，复合泊松的效益为两点分布

$$
Y_i\sim \begin{pmatrix}
1 & -1 \newline
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} & \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}
\end{pmatrix}
$$

$$
G_{Y}(z) = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}z+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}z^{-1}
$$

所以泊松差过程可以理解为效应函数为两点分布$Y$的复合泊松过程。

经过检索，该类泊松差过程称为Skellam distribution。

https://en.wikipedia.org/wiki/Skellam_distribution

近日有幸加入了“十年之约”，也浏览了同学们的博客，回头看了看自己的博客不禁有些羞愧，写的文字前言不对后语，之后还是尽量认真记录自己的想法。

为什么叫remake2022呢。已经是2022的四月了，我却还停留在2021年7月毕业时候的心情。写着篇博客，希望在学习的同时加上总结，盲目前进可能会误入歧途，总结经验教训，更好的利用好2022剩下的日子。2022年的我的生活，无论是学业上的，还是生活中，抑或是感情上的，面临着很多之前从未遇到过的困难，在2022的路上举步维艰。
学业上，去年如愿考入自动化系统所管院士名下读书，也在师兄的鼎力相助下光速发表了一个会议工作，获得了一些高出我能力很多的称赞和头衔，让我有些许骄傲和懈怠，值得反思。但随毕业而失去的是本科时候一起成长的朋友和兄弟，朋友们各奔东西，有出国的，有去上交的，有去清华的，有去人工智能的，没想到唯独我一人留在了自动化。每当有新的想法或者新鲜事，或者分享欲极强的时候，却发现无人交流，这种失落感从毕业后就在我心里逐渐蔓延，演变成了一种孤独。当和周围人的关系从一起学习和真诚的互相分享，变成了合作干项目和避之不及的互相推卸，同学就变成了同事。朋友，变成了一个遥不可及的词汇，取而代之的是“同事”。或许日后我也会习惯这种孤独，将来工作后又何尝不是这种状态呢，只能感慨本科时候一起学习一起分享的日子一去不复返了。不过师兄师姐对我对态度倒是很好对，多向师兄师姐学习吧，希望我能在2022逐渐习惯这种生活，多去图书馆，保护好本就留给自己的时间。
生活上，我虽然平时也不属于像我父母一样早睡早起的健康作息，但是半夜一点还在高压开会的现象我仍是难以忍受，清明节去露营半夜还在开会。也许现在的时代就是这样，不卷没饭吃？我父母倒是劝我身体最重要，是这个道理。前一段我也和我的导师徐老师聊了聊类似work life balance的问题，我记得我的问题是，项目太多，科研进展缓慢，如何协调“科研”，“项目”和“学习”之间的关系。徐老师对我非常真诚，谈起了他当年读书时候的事情，也对，没有什么东西是人生来就会的，都是在实践中学习的。我个人的理解是，这就是experience，experience没有高低贵贱，无论你做的是科学问题的研究，还是工程问题的落地，都是你读书时候的experience，都是留在记忆里的持久财产，就跟我做的很多测算一样，在我看来只不过是独立重复工作，用现成的solver，在加上师兄师姐的模型，算一些设备的容量罢了，但在别人看来可能是一套行之有效的方案，是一个项目的救命稻草和科学依据，anyway，之前的工作算是没有白费吧，将来可以自豪的说我是做测算工作出身的，或许毕业还能考个证？总之，这个博士学位我大概率是会冲一波的，我觉得值得。值得注意的是，之后的生活里就更需要学习work life balacne的方法了，不能因为工作失去了自己的时间，尤其是，如果谈了对象之后。
感情上，爸妈每次打电话都问我谈对象了没有，然后每次都给我推荐一些女孩，我也就一笑了之。哎，我谈过的恋爱在同龄人中也不算少，但感觉我自己还是跟个小孩子一样，每次谈恋爱都能学到新东西。记得之前高中老师说过一句话，如果你每次做题都能学到新东西，那坏了，你基本功还差得远。我现在感情状态可能就是这个样子，急需学习和成长。哎。希望自己坚强一点，还是对未来保持期待吧。

2022，可能是我人生的分界线，在对未来一无所知对情况下要做出决定人生的各种选择，抉择的痛苦伴随着环境变更的痛苦，聊以自慰的是痛苦往往伴随着成长，在当前的环境里保持成长，争取思想和行动都先人一步。希望在困难的一年里，在这个可控不可测的环境里，找准方向，调整节奏，做出这一年的最优解。