留数计算反常积分

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这是一道用分部积分法无法解出的题目，故写博客以记之。

题目

$$
\int_{0}^{+\infty}\frac{ln x}{a^2+x^2}dx
$$
其中a为常数。

方法一：朴素换元法

这是一道反常积分的题目，理论上应该分为两段计算，分别是一个第一类反常积分和一个第二类反常积分。不过如果求出原函数并且两边极限都存在的话就免去了分段这一步。

$$
\int_{0}^{+\infty}\frac{ln x}{a^2+x^2}dx
$$
首先进行换元，令x = atan(u)
$$
\overset{令x = atan(u)}{=}\int_{0}^{\pi/2}\frac{lna+ln(tan(u))}{\frac{a^2}{cos^2u}}d(a*tanu)
$$
$$
=\frac{1}{a}\int_{0}^{\pi/2}lna + ln(cosu)-ln(sinu)du
$$

又因为
$$
\int_{0}^{\pi/2}ln(cosu)du=\int_{0}^{\pi/2}ln(sinu)du
$$

所以原式可以化为
$$
\frac{1}{a}\int_{0}^{+\infty}lna,du=\frac{lna·\pi}{2a}
$$

方法二：留数

设$z_0$为$f(z)$的孤立奇点，$f(z)$在$H：0<|z-z_0|<R$内解析，C为H内包含$z_0$的简单正向闭曲线，则称一下为$f(z)$在$z_0$处的留数。

$$
Res[f(z_),z_0] = \frac{1}{2\pi i}\oint_{c}^{}f(z)dz
$$

留数和定理，设函数$f(z)$在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则$f(z)$在所有奇点（包括无穷）的留数总和为零。

观察原积分，将其扩展为

$$
\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ln |x|}{a^2+x^2}dx
$$
然后取整个虚平面的上半平面的一个顺时针大半圆为积分路径则在上半圆内部只有两个奇点，一个是原点另一个是$ai$

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ln |x|}{a^2+x^2}dx =\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ln |x|}{(x+ai)(x-ai)}dx
$$
由于原点处的极点乘以$(x-0)$为0，所以该处的留数为0.
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ln |x|}{(x+ai)(x-ai)}dx = 2\pi i , Res[\frac{ln |x|}{(x+ai)(x-ai)},ai]
$$

然后计算即可

$$=2\pi i , \frac{ln,a}{2ai}=\frac{lna·\pi}{a}
$$

所以原式为该积分的一半

$$
\int_{0}^{+\infty}\frac{ln x}{a^2+x^2}dx =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ln |x|}{a^2+x^2}dx =\frac{lna·\pi}{2a}
$$

与方法一结果一致。