果果的博客

今天是2022年5月4日，青年节。

青年的含义是什么

青年节，可能是每年除了生日和除夕，对我来说最有意义的一个日子了吧。走在路上不禁思考，青年的含义是什么。对自己的青年时间赶到迷茫，不妨看一看伟人们的青年时间都是如何度过的。

教员的青年时光做了很扎实的群众工作，同时写下了《中国社会各阶级的分析》、《湖南农民运动考察报告》等著名文章。同蔡和森等在长沙发起成立新民学会聚集了一批具有爱国革新思想的进步青年，其中不少人后来成为社会主义青年团和共产党的骨干。总的来说，结交志同道合的朋友，坐下扎实的社会调研和群众工作，青年时期过的非常充实了，令人敬佩。

梁启超在1895年同康有为一道联合各省公车上书，陈言时局利弊，掀起戊戌变法。失败之后，宣传新思想，新文化。在我看来，在当时的环境下能做出如此进步的尝试，不但需要有强大的思想定力和组织能力，还需要有巨大的勇气，值得学习。

在我看来，青年时期，尤其是读书时候，是人的一生创造力最强，也是最容易出成果的时候。我的很多朋友们和我一样，看到新事物就喜欢去钻研，去讨论，去检索交流学习。我心目中的青年，是这种具有钻研精神的，意志坚定，勇于担当，不破不立的人们。如果有一天我也变成了那种遇到困难就想着推给别人，遇到不会的工作总想着依靠别人，遇到任何任务都想着蒙混过关草草了事，那我就不再是我心目中的青年了，而变成了只会耍嘴皮子，论资排辈，指鹿为马固执己见的保守派了。

希望自己能在任何环境下都不断学习，保持自己的创造力，永远做一个敢担当敢创造的新青年。

2022年5月4日下午 于创新港图书馆

$n$个事件的等待时间

考察第$n$个事件的到达时间，也称为直到第$n$个事件的等待时间。（也称为poisson呼叫流）
$$
S_n=\sum_{i=1}^{n}T_i,\qquad n\ge 1
$$

$S_n$是n个到达之间之和，就是n个泊松分布之和，所以满足伽马分布。

$$
f_{S_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}
$$

以$N(t)$为条件的等待时间的条件分布

求条件时间前的分布

假设：直到时间$t$为止，泊松过程发生了一个事件。
目标：确定这个时间发生时间的分布
即，
$$
P{T_1<s|N(t)=1}=\frac{P{T_1<s,N(t)=1}}{P{N(t)=1}} =\frac{P{[0,s)中1个事件,[s,t]中0个事件}}{P{N(t)=1}}
$$

$$
=\frac{\lambda se^{-\lambda s}e^{-\lambda (t-s)}}{\lambda t e^{-\lambda t}}=\frac{s}{t}
$$
满足均匀分布。

这个模型可以通俗的理解为，如果泊松过程已经知道了到t时刻到发生的总事件数目，那么事件在前面的t时间里面是均匀分布的。

条件时间后的分布

现考察一到题目,N(t)是速率$\lambda$的泊松过程，现在求：
$$
E[S_4|N(1)=2]
$$
两种思路，第一种是用分布求解，一种是用泊松的无记忆性质，最终计算结果都是$1+\frac{2}{\lambda}$。所以目前出现问题。如果从1时刻开始，1后面的时间是小于$T_3+T_4$的，因为第二个事件发生距离1时刻有一定距离。所以本题不可以写成

$$
E[S_4|N(1)=2]=E[T_3+T_4|N(1)=2]+E[1|N(1)=2]
$$
应该写成
$$
E[S_4|N(1)=2]=E[1时刻后再发生两次事件的概率|N(1)=2]+E[1|N(1)=2]
$$

课本上提供了$N(t)=n$时候，前n个$S_n$的分布。该分布与n个在$(0,t)$上均匀分布的顺序统计量同分布。但是如果条件不是t时刻之前的总发生事件数目，而是n个时间的到达时间。即知道第n个时间到达的时间为t，那么n个事件该如何分布。

以$S_N$为条件的到达时间的条件分布

现考察$E[S_3|S_5=1]$和$E[S_3|N(1)=4]$。
$E[S_3|N(1)=4]$可以很好的理解为1时刻内发生四个事件，四个事件将时间分成均等的五块，所以$S_3$的值是0.6

$E[S_3|S_5=1]$可以理解为$(1-\Delta t)$时间内发生了四个时间，所以计算结果和前者一样。

既可以表示为$E[S_3|N(1-\Delta t)=4,N(\Delta=1)]$，由于$S_3$与$1-\Delta t$和$1$之间发生的事情独立，所以后者可以省略。

即最后得出结论，如果求的概率与最后一刻发生的事件独立，则$N(t)=n-1$和$S_n=t$作为条件是等价的。

来到创新港有快一年时间了，最近才爱上去图书馆学习的。图书馆跟工位比起来好像也没什么好的地方，工位桌子还大，而且工位还提供纯净水，电脑甚至还有双屏，但为什么图书馆的吸引力这么大呢？想了想，有三个原因。第一个原因，可能是因为很喜欢图书馆里面这种陌生人社会的氛围。之前中特老师讲到，中国传统的村落社会一直是一种熟人社会，因为村子里的人基本上都认识，而现在逐渐转为了陌生人社会，一个小区里的人，甚至一栋楼上的人都可能互不认识。图书馆可能是这种陌生人社会气氛的最完美的体现，同学们之间的距离甚至不超过半米，翻书的声音彼此都能听到，但是却互相不认识。这种感觉很奇妙，虽然可能坐在你同桌的同学跟你学的根本不是一门学科，可能你在算积分的同时她在阅读小说，但是这种图书馆的气氛却将同学们联系起来，虽然当我们真正遇到学习困难的时候也不可能去问同桌，但是这种气氛给我们一种心理暗示，周围的同学都很努力，我有不会的问题肯定可以解决。我很享受这种陌生的感觉。

除了桌子，我比较喜欢每次离开图书馆的感觉，这也是今天我写这篇日记的原因。每次离开图书馆就会回想起自己今天在图书馆的所学所得，今天是去图书馆复习随机过程的，吧泊松和马尔可夫的笔记做完了，同时听了一些张颢老师讲的课，能把泊松过程讲的这么丝滑的，可能没有第二个老师了吧。今天还去图书馆转了转人文社科区的书架，看了几片小小说，希望我能在毕业前吧图书馆每个书架摆的书的类型都记住，现在大概能记住优化书，积分书和语言类书的位置。每次去图书馆的体验都很足，离开的时候心里的满足感是无可替代的。

除此之外，可能是由于本科去图书馆的习惯吧，对图书馆的桌子情有独钟，发现各类学校的图书馆都有一个共同的特点，桌子虽然不大，但是都有挂书包的地方和电源。本科经常去兴庆钱图的咖啡厅，同时3楼的“湖景座”也是我喜欢去的地方，桌子是各有特色。兴庆钱图咖啡厅的桌子大致分为三类，一类是吧台旁边的方桌，有电源，空间足，但是缺点是离点餐的吧台太近了，噪音大、第二类是南侧贴墙的小圆桌，也有电源，但是桌子空间稍微小一些，好处是噪声小、第三类就是中间没有电源的桌子，一般是去的晚了没别的座位了就会坐中间，方桌子，空间大，不用电脑的读书写作业简直完美。创新港图书馆的桌子目前我只体验了一种，就是中间大区域的四人桌，体验非常好，旁边设置两个插销，而且还有挂书包的地方，可以说条件已经是比兴庆咖啡厅的更好了。跟同桌之间的空间也是足够的，不至于像之兴庆忘了一个地方的桌子， 学习时候两个人胳膊碰胳膊，没点社交能力都不好意思自习了。

与其说对图书馆的桌子记忆犹新，不如说怀念自己在图书馆桌子上的那一段时光。看到北四楼的方形木桌，就会想起自己考研时候独自复习的那段时光；看到图书馆三楼的白色湖景桌，就会想起大二的下午上自习的时光；看到咖啡厅的小圆桌，就会想起大三和自己一起复习期末考试的同学。每天第一个披萨半价的活动在大三的时候就没有了，一起学习的同学们也各奔东西了，我也很少有机会去兴庆的咖啡厅了，只剩下图书馆还在那里，为一届又一届的学生们留下回忆。

随机过程笔记

记录听张颢老师随机过程课的所学所得

泊松差过程

假设$N_1(t)$和$N_2(t)$是强度分别为$\lambda_1,\lambda_2$的独立的两个泊松过程，那么$N(t) = N_1(t)-N_2(t)$是否为泊松过程，如果不是，$N(t)$的分布函数是什么。

首先根据泊松过程的定义，计数过程必须是大于等于0的正整数，而$P(N(t)\leq 0)\geq 0$，所以不是泊松过程。
下面通过母函数求分布函数。
$$
G_{N(t)}(z) = E(z^{N(t)}) = E(z^{N_1(t)})\cdot E(z^{-N_2(t)})
$$
$$
=G_{N_1(t)}(z) \cdot G_{N_2(t)}(\frac{1}{z}) =exp(\lambda_1t(z-1))\cdot exp(\lambda_2t(\frac{1}{z}-1))
$$

到这一步需要从机理进行思考，由于两个泊松过程相减可以理解为两个不同效果的泊松过程想加，如果只考虑事件的发生而不考虑事件的效益，则事件的发生仍是泊松过程，加上效益，则是复合泊松过程。所以需要从上式中提出$\lambda_1+\lambda_2$的项

$$
=exp((\lambda_1+\lambda_2)t(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}z+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}z^{-1}-1))
$$

由上式看出，复合泊松的效益为两点分布

$$
Y_i\sim \begin{pmatrix}
1 & -1 \newline
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} & \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}
\end{pmatrix}
$$

$$
G_{Y}(z) = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}z+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}z^{-1}
$$

所以泊松差过程可以理解为效应函数为两点分布$Y$的复合泊松过程。

经过检索，该类泊松差过程称为Skellam distribution。

https://en.wikipedia.org/wiki/Skellam_distribution