poisson process 到达时间的条件分布的讨论

$n$个事件的等待时间

考察第$n$个事件的到达时间，也称为直到第$n$个事件的等待时间。（也称为poisson呼叫流）
$$
S_n=\sum_{i=1}^{n}T_i,\qquad n\ge 1
$$

$S_n$是n个到达之间之和，就是n个泊松分布之和，所以满足伽马分布。

$$
f_{S_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}
$$

以$N(t)$为条件的等待时间的条件分布

求条件时间前的分布

假设：直到时间$t$为止，泊松过程发生了一个事件。
目标：确定这个时间发生时间的分布
即，
$$
P{T_1<s|N(t)=1}=\frac{P{T_1<s,N(t)=1}}{P{N(t)=1}} =\frac{P{[0,s)中1个事件,[s,t]中0个事件}}{P{N(t)=1}}
$$

$$
=\frac{\lambda se^{-\lambda s}e^{-\lambda (t-s)}}{\lambda t e^{-\lambda t}}=\frac{s}{t}
$$
满足均匀分布。

这个模型可以通俗的理解为，如果泊松过程已经知道了到t时刻到发生的总事件数目，那么事件在前面的t时间里面是均匀分布的。

条件时间后的分布

现考察一到题目,N(t)是速率$\lambda$的泊松过程，现在求：
$$
E[S_4|N(1)=2]
$$
两种思路，第一种是用分布求解，一种是用泊松的无记忆性质，最终计算结果都是$1+\frac{2}{\lambda}$。所以目前出现问题。如果从1时刻开始，1后面的时间是小于$T_3+T_4$的，因为第二个事件发生距离1时刻有一定距离。所以本题不可以写成

$$
E[S_4|N(1)=2]=E[T_3+T_4|N(1)=2]+E[1|N(1)=2]
$$
应该写成
$$
E[S_4|N(1)=2]=E[1时刻后再发生两次事件的概率|N(1)=2]+E[1|N(1)=2]
$$

课本上提供了$N(t)=n$时候，前n个$S_n$的分布。该分布与n个在$(0,t)$上均匀分布的顺序统计量同分布。但是如果条件不是t时刻之前的总发生事件数目，而是n个时间的到达时间。即知道第n个时间到达的时间为t，那么n个事件该如何分布。

以$S_N$为条件的到达时间的条件分布

现考察$E[S_3|S_5=1]$和$E[S_3|N(1)=4]$。
$E[S_3|N(1)=4]$可以很好的理解为1时刻内发生四个事件，四个事件将时间分成均等的五块，所以$S_3$的值是0.6

$E[S_3|S_5=1]$可以理解为$(1-\Delta t)$时间内发生了四个时间，所以计算结果和前者一样。

既可以表示为$E[S_3|N(1-\Delta t)=4,N(\Delta=1)]$，由于$S_3$与$1-\Delta t$和$1$之间发生的事情独立，所以后者可以省略。

即最后得出结论，如果求的概率与最后一刻发生的事件独立，则$N(t)=n-1$和$S_n=t$作为条件是等价的。