Poisson process中的泊松差分布

随机过程笔记

记录听张颢老师随机过程课的所学所得

泊松差过程

假设$N_1(t)$和$N_2(t)$是强度分别为$\lambda_1,\lambda_2$的独立的两个泊松过程，那么$N(t) = N_1(t)-N_2(t)$是否为泊松过程，如果不是，$N(t)$的分布函数是什么。

首先根据泊松过程的定义，计数过程必须是大于等于0的正整数，而$P(N(t)\leq 0)\geq 0$，所以不是泊松过程。
下面通过母函数求分布函数。
$$
G_{N(t)}(z) = E(z^{N(t)}) = E(z^{N_1(t)})\cdot E(z^{-N_2(t)})
$$
$$
=G_{N_1(t)}(z) \cdot G_{N_2(t)}(\frac{1}{z}) =exp(\lambda_1t(z-1))\cdot exp(\lambda_2t(\frac{1}{z}-1))
$$

到这一步需要从机理进行思考，由于两个泊松过程相减可以理解为两个不同效果的泊松过程想加，如果只考虑事件的发生而不考虑事件的效益，则事件的发生仍是泊松过程，加上效益，则是复合泊松过程。所以需要从上式中提出$\lambda_1+\lambda_2$的项

$$
=exp((\lambda_1+\lambda_2)t(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}z+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}z^{-1}-1))
$$

由上式看出，复合泊松的效益为两点分布

$$
Y_i\sim \begin{pmatrix}
1 & -1 \newline
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} & \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}
\end{pmatrix}
$$

$$
G_{Y}(z) = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}z+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}z^{-1}
$$

所以泊松差过程可以理解为效应函数为两点分布$Y$的复合泊松过程。

经过检索，该类泊松差过程称为Skellam distribution。

https://en.wikipedia.org/wiki/Skellam_distribution