等不等公交车？等多久公交？

如果现在我们在公交车站等了一小会公交车了但公交车还没来，我们是继续等公交车呢还是打车走人。这个问题可能很简单，已经等了这么久了再等等吧，那如果我现在等了半小时还没来呢？又或者说等多久公交车最合适，等不到就打车走人。昨天下午在公交车站等车等了半小时的我陷入了沉思。。。

问题描述

为了得到一个等公交的策略，首先我们需要对公交车到达这个问题进行。首先会想到随机过程中描述离散时间到达的泊松过程，泊松过程符合以下标准：

1. 事件是相互独立的。一个事件的发生并不影响另一个事件发生的概率。
2. 平均速率（每个时间段的事件）是恒定的。
3. 两个事件不可能在同一时间发生。

在随机过程课程中印象比较深对是独立增量和平稳增量，如果一个随机过程有独立增量和平稳增量的前提，就可以推出来是泊松过程。显然公交车可以进行这个假设，两辆公交车到达事件之间可能有一些联系吧（交通绿波这种），但是大致可以忽略不计；平稳增量过程显然，因为每号线公交车有一个平均班车时间。所以将公交车的到达时间构建成泊松过程。

现假如我在阿房宫公交站，现在有三种路线：

• 公交A：平均意义下30分钟一趟，路程时间27分钟，2元。
• 公交B：平均意义下15分钟一趟，路程时间45分钟，2元。（由于需要腿一段路比较累，按照10元）
• 打车：随叫随到，路程时间10分钟。花费15元左右。

显而易见我有四种乘车策略：

1. 死等公交A，等到时间后打车。因为公交A直达，并且便宜，但是公交A三十分钟一趟比较慢。
2. 死等公交B，等到时间后打车。因为公交B班车快，也很便宜，但是体验不佳，得走好一段路。
3. 哪个公交先到做哪个，等到时间后打车。A，B谁先到站我做谁，而且这个策略似乎看起来更合理一些。
4. 直接打车，或者等上一阵遭不住了打车跑路。

现在就是两个问题了，问题一：给定预算下，用那种策略平均等待时间最少。问题二：给定忍耐的等待时间，等不到必须坐车，哪种策略cost最少。（当然这个cost里面加入了一点自己的体验，不想走路，所以这个cost还是很有意义的）

这两个问题其实是一回事，给一个平均意义cost随着忍耐时间变化的曲线就好了。

策略分析

假设等待时间从0开始到，公交A的泊松过程参数，cost ；公交B的泊松过程参数，cost ；直接打车cost 。下面分析按照难易程度展开。

策略1:忍不了一点点，直接打车

直接打车策略的cost显然不会随着时间改变，无论等多久，当决定打车时候，cost永远是 。

策略2:死等A/B公交，等到忍耐时间后打车

这两个策略只有参数的差别，所以以A为案例进行分析。等到时间的话，期间可能来0，1，2，3，。。。辆公交，但是我们其实只区分来没来，来了就能走，考虑泊松过程到达时间间隔与等待时间的分布：

事件	0~时间内一辆A都没来	0~时间内A公交到达1辆或以上
概率		1-
cost

该策略平均cost随时间的函数为：

死等公交B到同理

事件	0~时间内一辆B都没来	0~时间B公交到达1辆或以上
概率		1-
cost

死等B公交到的cost函数为

策略3:等到忍耐时间,A和B谁先来上谁，都没来打车

这里首先需要推导一个泊松过程到达先后的概率，分别代表公交A和公交B第一辆到达的时间。

事件	0~时间内A和B都没来	0~时间内至少来了一辆，并且A比B来的早	0~时间内至少来了一辆，并且B比A来的早
概率
cost

所以本策略的cost函数为

结果分析

把上述策略平均意义下cost随最大忍耐时间变化的图像画出来：

结果显而易见，如果忍耐时间足够大，20分钟以内，那辆车先来上那辆，20分钟以后死等公交A了。

还有一些不那么重要的结论，首先是忍耐时间越长平均意义的cost越低，同时如果让公交B变得经济一些会显著降低策略3的平均cost，并且如果增开一路公交C也会显著降低平均cost。

额外的问题？

昨天实际的场景时，我在隔壁魏里斯汉堡等餐的时候，透过玻璃窗子发现了路对面公交站一辆公交B开过去了，这时候我的策略又该怎样改变？如果我没看清是公交A还是公交B开过去了，我的策略又该怎样改变？如果开过去的公交可能既不属于公交A和公交B，可能是一个毫不相干的公交开过去了，我的策略又是否需要变？欢迎大家一起讨论聊一聊。

最后，经费充足的话这个问题就没有意义了，但是这个等车时候思考的过程以及回家后复习推导的过程更具意义。而且，15元的打车费真的对我很重要。