实变函数和泛函分析

最近学习实变函数和泛函分析，在翟老师的讲解下学习了之前数学家的工作，翟老师也说，实变函数是上世纪才系统性完善的，是近代的数学，很值得我们学习。而且我们学习的都是这些数学大师一生中最精彩的工作，仔细研读可以学到很多数学思想。

为了理解翟老师课上的一些知识，我便在淘宝下单了周民强的实变函数论，翻开附录发现竟有一章是勒贝格传，读传记是我学习数学的一大乐趣之一。故做一些记录。

勒贝格1875年6月28日生于法国的博伟，1941年7月26日卒于巴黎。勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，颇有教养。在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别擅长计算。不幸，父亲去世过早。家境衰落，勒贝格在学校老师的帮助下进入中学，后又转入巴黎，1894年考入高等师范学校。大学毕业后，勒贝格在校图书馆工作了两年。在这期间，出版了E.波雷尔关于点集测度的新方法的《函数论讲义》，特别是研究生R.贝尔发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文，这些成功的研究工作说明在上述崭新的领域中进行开拓挥霍的何等重要的成就，因而激发了勒贝格的热情。从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦的研究实变函数，理论，并于1902年发表了博士论文“积分、长度与面积”。在这篇文章中，勒贝格厂里了后来以他的名字命名的积分理论。伺候，他开始在大学任教，并出版了一系列重要著作：《积分法和原函数分析讲义》；《三角级数讲义》。接着，勒贝格又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果，勒贝格于1921年获得法兰西血压u呢教授称号，一年作为C.若尔当的后记人被选为巴黎科学院院士。

勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题。19世纪以来，微积分开始进入严密话的阶段。1854年，B.黎曼引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续函数，随着K.威尔斯特拉斯和G.康托尔工作的温室，在数学中出现了许多奇怪的函数与现象，致使黎曼积分理论暴漏出较大的局限性。几乎与这一理论发展的同时，人就已经广泛的开展了对积分理论的改造工作。当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合的性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外容度性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位。积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。因此，人们自然会考虑如何吧长度、面积等概念扩充到更广泛的点集类上，从而吧积分的概念置于集合测度理论的框架之中。这一思想的重要性在于使人们认识到：几何的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广。勒贝格积分正式建立在勒贝格测度理论的基础上，是黎曼积分的扩充。

勒贝格曾对他的积分思想做过一个生动有趣的描述：“我必须偿还一笔钱。如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票，逐一的还给债主直到全部还清，这就是黎曼积分法，不过我还有另外一种做法，就是把钱全部拿出来并吧相同棉质的钞票放在一起，然后再付给应还的数目，这就是我的积分法。”

早在19世纪初期，由J.傅立叶在关于三角级数的工作中提出：当一个有界函数可以表示为一个三角级数时，该级数是它的傅里叶级数吗？这一问题与一个无穷级数是否可以逐项积分有着密切的关系。傅立叶当时曾认为在其和为有界函数时这一运算是正确的，从而给上述问题肯定的答复。然而到了19世纪末，人们认识到逐项积分并不总是可行的，甚至对于黎曼可积函数的一致有界的技术也是这样，因为由该级数所表示的函数不一定是黎曼可积的。这个问题促使勒贝格在新的积分理论中获得了一个十分重要的结果：控制收敛定理。作为一个特殊情形他指出，勒贝格可积的一致有界技术都可以逐项进行积分，从而支持了傅里叶的结论。逐项积分在本质上就是积分号下取极限的问题，他是积分理论中经常遇到的最重要的运算之一。从而这一定理的创立显示了勒贝格积分理论的极大优越性。

勒贝格的一生都献给了数学事业。在1922年被推举为院士的时候，他的著作和论文已经达到90种之多，内容出了积分理论外，还设计集合与函数的构成、变分学、曲面面积以及纬数理论等重要课题，在人生的最后20年中，勒贝格的研究工作仍然十分活跃并反映出广泛的兴趣，不过作品的内容大都涉及教育、历史和初等几何。

勒贝格的工作是对20世纪科学领域的一个重大贡献，但和科学史上每种新思想的出现一样，并不是没有遇到阻力的。原因就是勒贝格的研究中扮演了重要角色的那些不连续函数和不可微函数被认为是违反了所谓的完美性法则，是数学中的“变态和不健康”部分。因此，他的工作收到了某些数学家的冷淡，甚至有人曾企图阻止他关于一篇讨论不可微曲面的论文的发表。勒贝格曾经感叹：“我被称为是一个没有导数的函数的那种人了。”然而，不论人们的主观愿望如何，这些具有种种奇艺性质的对象都自动地进入了研究者曾企图避开他们都问题之中。勒贝格充满信心地指出：“使得自己在这种研究中变得迟钝了的那些人，是在浪费他们的时间，而不是在从事有用的工作。”

如果有能力写一些关于泛函分析的知识类博客，推一些自己很欣赏的定理公式，那必然是更好的。可惜能力不允许，时间也不允许，只能记录一些大师的传记来表达自己的敬意了。